KRZYWE LISSAJOUS

  Opracowanie : Agnieszka Ratajczak, Adrianna Sypiańska
Autorzy programu : Tomasz Dowgielewicz, Michał Kruk i inni.

 
  • Co to są krzywe Lissajous ?
  • Zależności opisujące krzywe Lissajous.
  • Jak powstają krzywe Lissajous ?
  • Rodzaje krzywych Lissajous.
Krzywymi lub figurami Lissajous nazywamy tory zamknięte zakreślane przez punkt wykonujący jednocześnie dwa drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach x i y.
W skrócie są to krzywe opisane przez równania parametryczne x = Asin(at+d), y =Bsin(bt) opisujące drgania harmoniczne.
Krzywe opisują zależności:
x = Axcos(wxt)               y = Aycos(wyt + j)

    gdzie :
  • Ax - amplituda drgania wzdłuż osi x
  • Ay - amplituda drgania wzdłuż osi y
  • wx - częstotliwość kołowa drgania wzdłuż osi x
  • wy - częstotliwość kołowa drgania wzdłuż osi y
  • t - czas trwania ruchu
  • j - różnica faz między drganiem pionowym, a poziomym
Powyższe wyrażenia stanowią razem równanie toru w postaci parametrycznej. Kształt tego toru zależy od stosunków między częstościami i amplitudami obu drgań oraz od różnicy faz między drganiami.

Krzywe Lissajous powstają poprzez superpozycję drgań [łac. superpono- nakładam], czyli przez składanie drgań. Drgania wypadkowe powstają wtedy, gdy układ wykonuje równocześnie dwa lub więcej drgań harmonicznych. Drgania te odbywają się niezależnie od siebie, nie zakłócając się wzajemnie, a wychylenie wielkości drgającej jest sumą wektorową wychyleń drgań składowych. Dlatego matematyczne przedstawienie drgań harmonicznych stanowią zależne od czasu funkcje s(t), spełniające liniowe równania różniczkowe, dla których obowiązuje zasada superpozycji. Jeśli s1(t) i s2(t) są rozwiązaniami równania różniczkowego, to również ich suma wektorowa s(t) =s1(t) + s2(t), spełnia to równanie.
Składanie drgań harmonicznych polega na dodawaniu wektorów opisujących te drgania. Najczęściej rozważa się składanie drgań w dwóch wypadkach granicznych: gdy ich kierunki są takie same lub gdy są wzajemnie prostopadłe. Jeżeli drgania zachodzą w tym samym kierunku, to drgania wypadkowe można otrzymać posługując się diagramem wektorowym.
W wyniku złożenia drgań:

s1(t) = A1 sin(w1t+j1)          oraz           s2(t) = A2 sin(w2t+j2)

powstaje drganie wypadkowe:

s(t) = s1(t) + s2(t) = A(t) sin F(t)
gdzie :

Jeśli częstotliwości i amplituda drgań składowych są różne, to drganie wypadkowe s(t) jest skomplikowane. Jest ono drganiem okresowym tylko wtedy, gdy częstotliwości drgań są współmierne (w1 : w2 jest liczbą wymierną), a drganiem harmonicznym tylko wtedy, gdy w1 = w2. Gdy częstotliwości w1 i w2 różnią się nieznacznie następują dudnienia.
Gdy układ wykonuje równocześnie drganie sx(t) = A1 sin(w1t + j1) w kierunku osi x
i drganie sy(t) = A2 sin(w2t + j2) w kierunku osi y, to drganie wypadkowe jest sumą prostopadłych wektorów i opisuje je krzywa leżąca na płaszczyźnie x y.
Jeśli stosunek częstotliwości drgań, p= w1: w2 jest liczbą wymierną, to krzywe te są krzywymi zamkniętymi, których kształt zależy od stosunku częstotliwości i od różnicy faz: j1 - j2.


Program kreślący krzywe Lissajous (WinRar)

Przykłady krzywych Lissajous :

Przykłady krzywych Lissajous